对于“交换律”，我们一贯的教学思路是：结合具体情境，得出某一具有交换律特征的实例，由此引发猜想，再借助举例验证猜想、形成结论，进而在解释和应用的过程中进一步深化认识。本课，在宏观结构上并未作太多变化。然而，在保持其整体结构的基础上，这一堂课在更多细节上所给予的突破却是十分显见。我们不妨重历课堂，去找寻这些细节，并探寻细节背后的意蕴所在。由“3+4=4+3”得出“交换两数的位置，和不变”的猜想，似乎再自然不过了。然而，教师略显突兀的介入，以“交换两数的位置，和不变？”的细微变化，却又发人于深思。正如案例中所提及的，“一个例子究竟能说明什么”，是得出结论？还是仅仅是触发猜想和验证的一根引线？这里关乎知识的习得，更关乎方法的生成，关乎学生对于如何从事数学思考的思考。

“验证猜想，需要怎样的例子”的探讨，更是折射出了张老师独特的教学智慧。利用不完全归纳法得出交换律说简单也简单，说不简单也不简单，其中包含的学问有很多。什么是不完全归纳法？为什么要使用不完全归纳法？不完全归纳法需要举多少例子才够？例子越多就越好吗？要不要关注反例？不完全归纳法得到的是结论吗？如哥德巴赫猜想，虽然至今都还没找到反例，但它依然是猜想而不是结论。如果仅靠猜想这可靠吗？实际上，学过高等数学的老师们应该知道，不完全归纳法是不能得出结论的，无论你举出多少个例子，哪怕是一千个、一万个，只要第一万零一个是错误的，那就得不出结论。可是在很多课堂中，我们可以目睹这样的情形：学生举例三、四，教师引导学生匆匆过场，似乎也有观察、也有比较、也有提炼。然而，我们却很少琢磨：观察也好、提炼也罢，它究竟该建立在怎样的基石之上，再换言之，在“简洁”和“丰富”之间，谁才是“举例验证猜想”时应该遵循的规则。张老师的尝试与表达无疑是对传统教学的一种突破。“举例”不应只追求简约，例子的多元化、特殊性恰恰是结论准确和完整的前提。没有老师适时的点拨与引导，学生如何才能有此深度体验？无此体验，我们如何能说，学生已经历过程，并已感悟思想与方法？

 触及我深思的问题还在于，是什么原因触发了这一节课将原来的“加法交换律”置换成了“交换律”？仅仅是内容的简单扩张？还是教学结构的适度调整？随后的课堂，给了我们清晰的答复。“加法结合律”只是一个触点，“减法中是否也会有交换律？”“乘法、除法中呢？”等新问题，则是原有触点中诞生的一个个新的生长点。张老师本节课的目标定位并非我们常规的“验证和运用加法和乘法的交换律”这一事实，如果只把目标锁定于此，在孩子们举出一个、两个、几十个、几百个例子之后，就可以让孩子得出结论了，然而张老师并没有就此打住，而是重在让孩子们去体会不完全归纳法是一个怎样的完整的真实的过程。比如出示两位同学举的例子，一位同学举了好多例子，而另一位同学只举了3个例子，让学生感受举例是否越多越好？再如对“减法交换律、除法交换律”的推翻过程，让学生感受要证明一个判断不成立为什么只需要一个反例就够，等等这些，张老师实际上是希望通过这节课的学习，不只是教给学生数学知识和数学技能，更重要的是让学生感受和经历并领悟数学探讨、数学研究的完整过程，比如不完全归纳法，这对孩子们未来的学习是很有帮助的。

 在学生自己举例对减法、乘法、除法进行验证后，张老师引导学生对这节课的学习进行了回顾。我还以为这节课再练习几道题就结束了。没有想到，精彩还在继续，思维还在拓展。

首先，张老师设计了几道填空题来巩固这节课所学的加法交换律和乘法交换律，其中最后一道是(      )+(    )二(    )+(    )。学生举了几个例子后，老师问：能填得完吗?有没有什么办法表示呢?从而有机地渗透了用字母表示数。

 其次，张老师又提出一个问题，你们知道数学家是怎样去说明加法和乘法的交换律的吗?你们想去看看吗?学生带着强烈的好奇心倾听着张老师介绍数学家用集合图和点阵图的方法证明加法交换律和乘法交换律。

再次，张老师给学生讲了这样一个故事：天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰。他们向外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文学家说：“多么有趣，所有的苏格兰羊都是黑色的。”物理学家反驳道：“不!某些苏格兰羊是黑色的。”数学家慢条斯理地说：“在苏格兰，至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”一个有趣的故事让孩子们体会到数学的严谨。

多么巧妙的设计，多么引人深思的结尾!简简单单的一道填空题，让学生体会了使用字母表示数的优越性，发展了学生的符号感；用集合图和数阵图的方法来验证加法交换律和乘法交换律，让学生对刚才举例验证的担心得以消除，进一步体会到数学思维和数学方法的奇妙；一个有趣的故事让孩子们再次感受到数学的严谨与其魅力所在。这就是有“根”的课堂；“根深方能叶茂”，学生发展之“根”的深深植入，使得人人都能获得良好的数学教育。